MEDIDAS DE DISPERSIÓN
El conocimiento de la forma
de la distribución y del respectivo promedio de una colección de valores de
una variable, puede servir para tener una idea bastante clara de la conformación,
pero no de de la homogeneidad de cada una de los valores con respecto
a la medida de tendencia central aplicada.
En el caso de las variables con
valores que pueden definirse en términos de alguna escala de medida
de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el
grado de dispersión o variabilidad existente en el grupo de variantes
en estudio.
A estos indicadores les
llamamos medidas de dispersión, por cuanto que están referidos a
la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que
si no hubiere variabilidad o dispersión en los datos interés,
entonces no habría necesidad de la gran mayoría de las medidas de
la estadística descriptiva.
Las medidas de tendencia central tienen
como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo,
las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia
central son representativas como síntesis de la información. Las
medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad
de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre
medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes
muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.
1. RANGO :
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos
finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el valor más
alto (Xn ó Xmax.) y el más bajo (X1 ó Xmin) en un conjunto de datos.
Rango para datos no agrupados;
R = Xmáx.-Xmín = Xn-X1
Ejemplo:
Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier
año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio
de las edades, se tiene que:
R = Xn-X1 ) = 34-18 = 16 años
Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si
no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso
de los límites de clases. Se aproxima el rango tomando el límite
superior de la última clase menos el límite inferior de la primera
clase.
Rango para datos agrupados;
R= (lim. Sup. De la clase n – lim. Int. De la clase 1)
Clases
|
P.M.
Xi
|
fi
|
fr
|
fa↓
|
fa↑
|
fra↓
|
fra↑
|
7.420 – 21.835
|
14.628
|
10
|
0.33
|
10
|
30
|
0.33
|
1.00
|
21.835 – 36.250
|
29.043
|
4
|
0.13
|
14
|
20
|
0.46
|
0.67
|
36.250 – 50.665
|
43.458
|
5
|
0.17
|
19
|
16
|
0.63
|
0.54
|
50.665 – 65.080
|
57.873
|
3
|
0.10
|
22
|
11
|
0.73
|
0.37
|
65.080 – 79.495
|
72.288
|
3
|
0.10
|
25
|
8
|
0.83
|
0.27
|
79.495 – 93.910
|
86.703
|
5
|
0.17
|
30
|
5
|
1.00
|
0.17
|
Total
|
XXX
|
30
|
1.00
|
XXX
|
XXX
|
XXX
|
XXX
|
El rango
de la distribución de frecuencias se calcula así:
R= (lim. Sup.
De la clase n – lim. Int. De la clase 1) =
(93.910 – 7.420) = 86.49
· Propiedades del Rango o
Recorrido:
· El
recorrido es la medida de dispersión más sencilla de calcular e interpretar
puesto que simplemente es la distancia entre los valores extremos
(máximo y mínimo) en una distribución.
· Puesto que
el recorrido se basa en los valores extremos éste tiende s ser
errático. No es extraño que en una distribución de datos económicos o
comerciales incluya a unos pocos valores en extremo pequeños o grandes. Cuando
tal cosa sucede, entonces el recorrido solamente mide la dispersión con
respecto a esos valores anormales, ignorando a los demás valores de la variable.
· La
principal desventaja del recorrido es que sólo está influenciado por los
valores extremos,, puesto que no cuenta con los demás valores de la variable.
Por tal razón, siempre existe el peligro de que el recorrido ofrezca una descripción distorsionada de la dispersión.
· En el control de la calidad se hace un uso
extenso del recorrido cuando la distribución a utilizarse no la distorsionan y
cuando el ahorro del tiempo al hacer los cálculos es un
factor de importancia.
2. DESVIACIÓN MEDIA:
Esta medida de
dispersión considera todos los datos, está definida como el promedio aritmético
de los valores absolutos de la desviación de cada valor de la variable con
respecto a la media aritmética.
La desviación media utiliza la
siguiente fórmula:
Dicha fórmula de forma más específica
se representa de la siguiente manera:
Donde:
X : valor de cada observación.
N : número de observaciones en la
muestra.
| |: Valor absoluto.
3.VARIANZA :
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
La varianza es la media
aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística.
La varianza se representa por σ
2.
Varianza para datos agrupados:
Para simplificar el cálculo de la
varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes
a las anteriores.
Varianza para datos agrupados:
4. DESVIACIÓN TÍPICA:
La desviación típica es
la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media
de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación típica se
representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados:
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados:
